Как готовиться: по шагам

1. Если математика давно забыта — начни с вкладки «С нуля» (≈40 мин). Там простыми словами объяснено, что такое предел, производная, касательная и определитель, и повторено всё школьное, что понадобится: степени, разложение на множители, значения синуса и косинуса.
2. Производные (≈1 ч). Это фундамент: на них держатся ещё касательные и дифференциал, то есть 17 из 29 заданий. Выучи таблицу и три правила из шпаргалки, затем 10 задач в тренажёре по теме «Производная» без ошибок подряд.
3. Касательная и дифференциал (≈1 ч). Одна формула касательной и одна идея: «касается» = совпадают значение и производная. Разбери задания 7, 11, 15, 20, 23, 26, 4, 29, потом тренажёр.
4. Пределы (≈1 ч). Сначала подставь число. Получилось \(\frac00\) или \(\frac\infty\infty\) — выбери один из четырёх приёмов по виду выражения. Разбор + тренажёр.
5. Системы уравнений и пробная КТ (≈1 ч). Определитель 3×3 и правило Крамера, затем пробная контрольная из 10 задач. Цель — 8 из 10. Ошибся — открой решение и прорешай этот тип ещё раз в тренажёре.

Как работать с разбором

Не открывай решение сразу. Прочитай условие, реши на бумаге, сверь ответ, и только потом смотри шаги. Если сам дошёл только до середины — это нормально: смотри, на каком шаге застрял, и повтори этот тип в тренажёре.

Мой прогресс в тренажёре

Шаг 0 · школьная база

Что нужно вспомнить из школы

1. Степени и корни

Корень — это степень \(\frac12\). Дробь «единица на что-то» — это отрицательная степень. Так удобнее брать производные:

2. Разложение на множители

Это нужно для пределов: чтобы сократить дробь, её числитель и знаменатель надо записать как произведение скобок. Три способа:

1. Вынести общий множитель. \(x^2+2x=x\cdot x+2\cdot x=x(x+2)\).
2. Разность квадратов \(\boxed{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}\). Пример: \(x^2-16=x^2-4^2=(x-4)(x+4)\).
3. Квадратный трёхчлен \(x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)\), где \(x_1,x_2\) — корни уравнения \(x^2+px+q=0\).
   Быстрый способ: подбери два числа, у которых произведение равно \(q\), а сумма равна \(-p\).
   Пример: \(x^2+5x+6\). Ищем числа с произведением 6 и суммой −5: это −2 и −3. Значит \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\).
   Если подобрать не получается — через дискриминант: \(D=p^2-4q\), \(x_{1,2}=\dfrac{-p\pm\sqrt D}{2}\).

Проверить себя просто: раскрой скобки обратно. \((x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6\) ✓.

3. Значения синуса и косинуса

Угол \(\pi\) — это 180°. Тогда \(\frac\pi2=90°\), \(\frac\pi3=60°\), \(\frac\pi4=45°\), \(\frac\pi6=30°\).

4. Логарифм

\(\ln x\) — логарифм по основанию \(e\approx2{,}718\). Запомни два значения: \(\boxed{\ln1=0,\quad \ln e=1}\). Запись \(\ln^3x\) означает \((\ln x)^3\).

5. Действия с дробями

Делить на дробь = умножать на перевёрнутую: \(\dfrac{\;\frac54\;}{\frac14}=\dfrac54\cdot\dfrac41=5\). Минус на минус даёт плюс: \(-(-13)\cdot(-16)=-208\) — считай знаки отдельно, это главная причина ошибок.

Тема 1 · пределы

Что такое предел

Запись \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) читается «предел \(f(x)\) при \(x\), стремящемся к \(a\)». Это ответ на вопрос: к какому числу приближается значение функции, когда \(x\) подходит всё ближе к \(a\).

Пример из задания 2: \(\dfrac{x^2+2x}{x^2+5x+6}\) при \(x\to-2\). Если подставить ровно \(-2\), получится \(\frac00\) — на ноль делить нельзя. Но можно посмотреть, что происходит рядом:

Значения подходят к −2. Это и есть предел. На контрольной таблицу не строят: дробь упрощают так, чтобы «плохое» место исчезло, и потом подставляют число.

Алгоритм для любого предела

1. Подставь число вместо \(x\). Получилось обычное число — это и есть ответ, всё.
2. Получилось \(\frac00\) («неопределённость»). Смотри, что в выражении:
   • только многочлены → разложи на множители и сократи одинаковую скобку;
   • есть корень → домножь на «сопряжённое» (подробно ниже);
   • \(x\to0\) и есть \(\sin\) или \(\operatorname{tg}\) → замени \(\sin kx\) и \(\operatorname{tg}kx\) на \(kx\).
3. \(x\to\infty\) → оставь в числителе и знаменателе только самую большую степень \(x\), остальное при огромных \(x\) не важно.

Почему можно сокращать

В пределе \(x\) только приближается к \(-2\), но никогда не равен ему. Поэтому скобка \((x+2)\) не равна нулю, и на неё можно сократить: \(\dfrac{x(x+2)}{(x+2)(x+3)}=\dfrac{x}{x+3}\).

Что такое «сопряжённое»

Для \(\sqrt{A}-B\) сопряжённое — \(\sqrt{A}+B\) (тот же корень, знак наоборот). Их произведение по разности квадратов: \((\sqrt A-B)(\sqrt A+B)=A-B^2\) — корень пропадает. Умножаем на сопряжённое и числитель, и знаменатель, чтобы дробь не изменилась.

Почему \(\sin kx\approx kx\)

При очень маленьких \(x\) синус почти равен своему аргументу: \(\sin0{,}01=0{,}0099998\). Это «первый замечательный предел» \(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\). С тангенсом то же самое.

Почему при \(x\to\infty\) важна только старшая степень

Возьми \(x=1000\): \(5x^3=5\,000\,000\,000\), а \(-x+9=-991\). Второе на фоне первого — ничто. Поэтому \(\dfrac{ax^3+7x^2-1}{5x^3-x+9}\approx\dfrac{ax^3}{5x^3}=\dfrac a5\).

Тема 2 · производная

Что такое производная

Производная \(f'(x)\) показывает, как быстро меняется функция. На графике это наклон: насколько круто идёт линия в данной точке. Если \(f'(x_0)=5\), то около точки \(x_0\) график поднимается на 5 при сдвиге вправо на 1. Если производная отрицательная — график идёт вниз, если 0 — в этой точке он горизонтальный (вершина параболы).

«Найти производную в точке \(x_0\)» — это всегда два действия:

1. Найти формулу \(f'(x)\) по таблице и правилам (шпаргалка).
2. Подставить в неё число \(x_0\).

Как понять, какое правило нужно

Сложная функция — самое важное

Это функция, у которой внутри не просто \(x\), а целое выражение. Представь матрёшку: есть внешняя оболочка и внутренняя начинка.

производная = производная внешней (начинку не трогаем) × производная начинки

Если внутри стоит просто \(x\), начинку можно не умножать: её производная равна 1. Но если там \(2x\), \(3x+1\) или что-то ещё — умножать обязательно. Это самая частая ошибка.

Тема 3 · касательная

Что такое касательная

Прямая записывается как \(y=kx+b\). Число \(k\) — её наклон, \(b\) — точка, где она пересекает ось \(OY\) (подставь \(x=0\) и получишь \(y=b\)).

Касательная — прямая, которая «прикладывается» к графику в одной точке и идёт в ту же сторону, что и график. Её наклон равен производной в этой точке: \(\boxed{k=f'(x_0)}\).

Уравнение касательной за 3 шага

1. Найди \(y_0=f(x_0)\) — высоту точки касания.
2. Найди \(k=f'(x_0)\) — наклон.
3. Подставь в \(\boxed{y=y_0+k(x-x_0)}\) и раскрой скобки.

Пример: \(y=x^2\), \(x_0=1\). \(y_0=1\), \(f'=2x\), \(k=2\). Касательная: \(y=1+2(x-1)=2x-1\). Именно она нарисована выше.

Слова из условий и что они значат

Тема 4 · дифференциал

Что такое дифференциал

Сдвинем \(x\) на маленькую величину \(\Delta x\) (читается «дельта икс»). Функция изменится на \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\) — это точное приращение.

Дифференциал \(dy\) — приближённое изменение, если считать, что функция меняется так же, как касательная: \(\boxed{dy=f'(x_0)\cdot\Delta x}\). То есть «скорость × сдвиг».

Пример: \(y=x^2\), \(x_0=3\), \(\Delta x=0{,}1\). Точно: \(3{,}1^2-3^2=0{,}61\). Дифференциал: \(f'(3)\cdot0{,}1=6\cdot0{,}1=0{,}6\). Почти то же самое, разница \(0{,}01=(\Delta x)^2\).

Тема 5 · системы

Системы уравнений и определитель

Система — несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решить её — найти числа \(x_1,x_2,x_3\), подходящие во все уравнения сразу.

Определитель 2×2

Таблица из четырёх чисел. Считается «крест-накрест»: \(\boxed{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc}\). Пример: \(\begin{vmatrix}1&4\\-2&1\end{vmatrix}=1\cdot1-4\cdot(-2)=1+8=9\).

Определитель 3×3 — сводим к трём 2×2

1. Берём первый элемент первой строки. Мысленно вычёркиваем его строку и столбец — остаётся квадрат 2×2. Считаем его и умножаем на этот элемент.
2. То же для второго элемента первой строки, но результат берём со знаком минус.
3. То же для третьего — снова со знаком плюс. Складываем.

\(\begin{vmatrix}3&-4&1\\1&1&m\\2&-5&6\end{vmatrix}=+3\begin{vmatrix}1&m\\-5&6\end{vmatrix}-(-4)\begin{vmatrix}1&m\\2&6\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1&1\\2&-5\end{vmatrix}\)

\(=3(6+5m)+4(6-2m)+(-5-2)=35+7m\).

Правило Крамера

\(\Delta\) — определитель из коэффициентов при неизвестных. \(\Delta_1\) — то же самое, но первый столбец заменён правыми частями уравнений (числами после «=»). Тогда \(\boxed{x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}}\). Для \(x_2\) заменяем второй столбец, для \(x_3\) — третий.

Однородная система

Так называют систему, где все правые части равны нулю. Нули \(x_1=x_2=x_3=0\) подходят всегда. Другие решения бывают только если \(\Delta=0\). Поэтому в таких задачах считаем определитель с буквой и приравниваем к нулю.

Производная · 9 заданий

Производная в точке

Три правила

\((uv)'=u'v+uv'\)    \(\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)    \(\big(f(g(x))\big)'=f'(g)\cdot g'(x)\)

Сложная функция — главное: производная внешней × производная того, что внутри. Например \(\big((3x+1)^4\big)'=4(3x+1)^3\cdot 3\), \(\big(\sqrt{8-5x}\big)'=\dfrac{-5}{2\sqrt{8-5x}}\), \(\big(\sin(\tfrac52x-\tfrac\pi4)\big)'=\tfrac52\cos(\tfrac52x-\tfrac\pi4)\).

Частые ошибки: забыть умножить на производную внутренней функции; в дроби перепутать порядок \(u'v-uv'\) (минус!); подставить точку до того, как упростил — лишние вычисления. Корень удобнее писать степенью: \(\frac{6}{\sqrt{5-4x}}=6(5-4x)^{-\frac12}\).

Касательная · 6 заданий

Касательная к графику

Уравнение касательной в точке \(x_0\): \(\boxed{y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)}\). Угловой коэффициент \(k=f'(x_0)\), свободный член \(b=f(x_0)-f'(x_0)\,x_0\).

1. Касательная параллельна прямой \(y=kx+m\) → решаем \(f'(x)=k\), находим точку касания.
2. Прямая \(y=kx+m\) касается графика → система из двух условий: \(f'(x_0)=k\) и \(f(x_0)=kx_0+m\).
3. Пересечение с осью OY → подставь \(x=0\), это и есть \(b\). С осью OX → \(y=0\): \(x=x_0-\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}\).

Если известна только ордината \(y_0\), сначала найди все \(x_0\) из уравнения \(f(x_0)=y_0\) и выбери тот, что подходит под условие (например \(k>0\)).

Дифференциал · 2 задания

Дифференциал и приращение

\(dy=f'(x_0)\cdot\Delta x\) — дифференциал. \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\) — настоящее приращение.

Для параболы \(y=x^2+px+q\): \(\Delta y=(2x_0+p)\Delta x+(\Delta x)^2\), значит \(\Delta y-dy=(\Delta x)^2\). Отсюда находится \(\Delta x\), а потом \(x_0\).

Пределы · 9 заданий

Пределы

Всегда сначала подставь число. Если вышло обычное число — это ответ. Если \(\frac00\) или \(\frac\infty\infty\) — выбирай приём по виду:

Полезный быстрый факт: \(\lim\limits_{x\to+\infty}\big(\sqrt{(x-p)(x-q)}-x\big)=-\dfrac{p+q}{2}\). Если в многочлене при \(x\to a\) вышло \(\frac00\), значит \((x-a)\) точно есть и в числителе, и в знаменателе — дели на него.

Системы · 3 задания

Системы линейных уравнений

Определитель 3×3 (разложение по первой строке):

\(\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}=a_1(b_2c_3-b_3c_2)-b_1(a_2c_3-a_3c_2)+c_1(a_2b_3-a_3b_2)\)

1. Найти одну переменную → правило Крамера: \(x_i=\dfrac{\Delta_i}{\Delta}\), где \(\Delta_i\) — определитель, в котором \(i\)-й столбец заменён столбцом свободных членов. Две определителя — и готово.
2. Однородная система имеет ненулевые решения ⇔ \(\Delta=0\). Считаешь определитель с параметром и приравниваешь к нулю.
3. Три уравнения, две неизвестные → реши любые два уравнения (удобнее вычесть похожие), третье — проверка.

Средний член в разложении идёт со знаком минус. Это самая частая ошибка в определителях.